Definitioner i DisMat

Dette er en oversigt over definitionerne i DisMat-bogen.

Notation: [Indeks] [(Side)]: [Navn] - [Kort resume].

1 Logik
2 (1): Udsagn - udtalelse, som er enten sand eller falsk.

6 (1): Prædikat - udsagn indeholdende en eller flere frie variable

11 (2): Konnektiv - og, eller, ikke, medfører, hvis og kun hvis

12 (3): Modstrid - sammensat udsagn, som altid er falsk

14 (3): Tautologi - sammensat udsagn, som altid er sandt

18 (4): Logisk ækvivalens - to sammensatte udsagn med samme sandhedsværdier

20 (5): Kontraponeret implikation - den kontraponerede implikation til $$p \Rightarrow q$$ er $$\neg q \Rightarrow \neg p$$

21 (5): Omvendt implikation - den omvendte implikation til $$p \Rightarrow q$$ er $$q \Rightarrow p$$

28 (7): Kvantorer - $$\forall$$ (al-kvantoren) betyder "for alle", og $$\exists$$ (eksistens-kvantoren) betyder "der eksisterer mindst ét"

40 (11): Lige tal - $$\exists n \in \mathbb{N} : x = 2n \Rightarrow x\ lige$$

41 (11): Ulige tal - et ulige tal er et helt tal, der ikke er lige (dvs. som kan skrives som $$2n+1$$)

3 Reelle tal, især uligheder
72 (29): Omvendte regningsarter - - (minus) og : (division)

75 (30): Uligheder - $$x \leq y$$ kan også skrives som $$y \geq x$$; $$x < y$$ betyder $$(x \leq y) \wedge (x \neq y)$$

79 (31): Positive og negative tal - $$\mathbb{R}_+ = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x\}$$, $$\mathbb{R}_- = \{x \in \mathbb{R} | x < 0\}$$

100 (35): Numerisk værdi - betegnes |x| og defineres ved $$|x|=x\ hvis\ x \geq 0,\quad |x|=-x\ hvis\ x<0$$

4 Hele tal
115 (39): Naturlige tal - Mængden {1, 2, 3, ...}, betegnes $$\mathbb{N}$$

116 (39): Hele tal - Mængden {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, betegnes $$\mathbb{Z}$$

117 (39): Rationale tal - De tal, som kan skrives som $$\frac{a}{b}$$, hvor a og b er hele tal, og $$b\neq 0$$. Betegnes $$\mathbb{Q}$$

119 (40): Divisor, Multiplum - Et tal $$d \in \mathbb{Z}$$ kaldes en divisor i et andet tal $$a \in \mathbb{Z}$$ hvis der findes et tal $$q \in \mathbb{Z}$$ så $$dq=a$$. Skrives $$d|a$$. Siger "d går op i a" og "a er et multiplum af d"

125 (40): Primtal, Sammensat tal - Et helt tal $$a \geq 2$$ er et primtal, hvis dets eneste divisorer er $$\pm a, \pm 1$$. Et heltal, der ikke er et primtal kaldes et sammensat tal.

128 (41): Fælles divisor - Hvis d er en divisor i de hele tal a og b, siges d at være en fælles divisor for a og b. Den største fælles divisor for tallene a og b beteegnes $$(a, b)$$. Hvis $$(a, b)=1$$, er a og b indbyrdes primiske eller at a er primisk med b

129 (41): Fælles multiplum - Et tal m, som er et multiplum af både a og b kaldes et fælles multiplum af a og b. Det mindste fælles multiplum af a og b kaldes det mindste fælles multiplum af a og b og betegnes $$mfm(a, b)$$

148 (47): Uforkortelig brøk - En brøk $$\frac{a}{b}$$ kaldes uforkortelig hvis $$(a,b)=1$$

5 Analyse og syntese
155 (56): Fibbonaccital - Følgen $$a_n$$, der rekursivt defineres ved $$a_1=a_2=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$. De første 10 led er 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

6 Induktionsbeviser
169 (68): Peanos aksiomssystem for de naturlige tal - De naturlige tal er udstyret med en efterfølgerfunktion $$S:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$ hvorom det gælder:
 * 1) $$1 \in \mathbb{N}$$
 * 2) $$\forall n \in \mathbb{N}: 1 \neq S(n)$$
 * 3) $$\forall m, n \in \mathbb{N}: m \neq n \Rightarrow S(m) \neq S(n)$$
 * 4) (induktionsaksiomet) Hvis det for en delmængde $$A \subseteq \mathbb{N}$$ gælder, at $$1, m \in A \Rightarrow S(m)\in A$$, så gælder, at $$A = \mathbb{N}$$

7 Mængdelære
174 (75): Mængders entydighed: Hvis A og B er mængder, så er A=B hvis $$x\in A \Leftrightarrow x \in B$$

176 (76): Den tomme mængde: Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde. Betegnes $$\emptyset$$

184 (77): Delmængde: A er en delmængde af B hvis alle elementer i A også er indeholdt i B. Dvs. $$A \subseteq B$$ hvis $$x \in A \Rightarrow x \in B$$

188 (78): Ægte delmængde - A er en ægte delmængde af B hvis $$A \subseteq B$$ og $$A \neq B$$. Betegnes nogle gange $$A \subset B$$

194 (80): Fællesmængde - Mængden af elementer, der ligger i både A og B. Betegnes $$A \cap B$$

200 (81): Disjunkte - Hvis $$A \cap B = \emptyset$$, er A og B disjunkte

201 (81): Foreningsmængde - Mængden af elementer, der ligger i enten A eller B. Betegnes $$A \cup B$$

209 (83): Familie af mængder - Hvis $$\Lambda$$ er en mængde af indicer og der til hvert index $$\alpha \in \Lambda$$ svarer en mængde $$A_\alpha$$, så udgør $$A_\alpha$$'erne en familie af mængder indiceret ved $$\Lambda$$. Betegnes $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$

210 (83): Fællesmængde af familie - Se bog

214 (84): Foreningsmængde af familie - Se bog

219 (85): Mængdedifferens - Mængden af elementer i A men ikke i B kaldes mængdedifferensen mellem A og B. Betegnes $$A \backslash B$$

225 (86): Komplementærmængde - Hvis $$A \subseteq U$$, hvor U er en grundmængde, er $$U \backslash A$$ komplementærmængden af A. Betegnes $$A^c$$

240 (89): Ordnet par - Et ordnet par $$(a,b)$$ er et par i en bestemt rækkefølge. To ordnede par er lig hinanden hvis og kun hvis:
 * 1) De indeholder de samme to tal
 * 2) De to tal er i samme rækkefølge

242 (90): Produktmængde - Hvis et ordnet par $$(a,b)$$ består af $$a\in A$$ og $$b \in B$$, så er mængden af sådanne par produktmængden af A og B. Betegnes $$A \times B$$

250 (91): Potensmængde - Mængden af delmængder af en mængde A kaldes A ' s potensmængde. Betegnes $$P(A)$$

8 Kompositionsregler
257 (97): Kompositionsregel - en forskrift på en mængde M, som til 2 elementer x og y knytter et nyt element $$x \star y$$ i M (lidt som en funktion)

261 (98): Associativ, Kommutativ - associativ: $$x \star (y \star z) = (x \star y) \star z$$. Kommutativ: $$x \star y = y \star x$$

264 (98): Neutralt element - e er et neutralt element hvis $$x \star e = e \star x = x$$

268 (99): Inverst element - y er et inverst element til x hvis $$x \star y = y \star x = e$$

273 (99): Gruppe - en mængde G med en kompositionsregel $$\star$$, dvs. $$(G, \star)$$, med følgende egenskaber:
 * 1) $$\star$$ er associativ
 * 2) Der findes et neutralt element e
 * 3) Alle elementer i G har et inverst element

274 (100): Abelsk - en gruppe er abelsk hvis $$\star$$ er kommutativ

281 (102): Ring - en mængde R med kompositionsregler + og * kaldes en ring og betegnes $$(R, +, \cdot)$$ hvis følgende gælder:
 * 1) + er kommutativ
 * 2) + og * er associative
 * 3) Der eksisterer et additivt og multiplikativt neutralelement (dvs. hhv. 0 og 1)
 * 4) Der eksisterer et additivt inverst element for hvert element i R
 * 5) Den distributive lov gælder

282 (103): Kommutativ ring - hvis * også er kommutativ

299 (105): Invertibel - et element x i en ring R kaldes invertibelt hvis der findes et $$x^{-1}$$, dvs. et multiplikativt inverst element

303 (106): Integritetsområde - en kommutativ ring (som ikke er nulringen), hvor nul-reglen gælder, dvs. hvis $$x \cdot y \Rightarrow (x=0) \vee (y=0)$$

308 (107): Legeme - en kommutativ ring (som ikke er nulringen), hvor alle elementer pånær 0 er invertible. Dvs.:
 * 1) + og * er kommutative
 * 2) + og * er associative
 * 3) Der findes et additivt og multiplikativt neutralt element (hhv. 0 og 1)
 * 4) Der findes additive og multiplikative inverser for alle elementer (multiplikativt pånær 0)
 * 5) Den distributive lov gælder

312 (108): Omvendte regningsarter for legemer - - (minus) og : (division) defineres ved: $$x-y := x+(-y),\quad x:y := x \cdot y^{-1}$$

9 Restklasser og modulær aritmetik
316 (111): Kongruent - lad $$n\in \mathbb{N}, a,b\in \mathbb{Z}$$. a er kongruent med b modulo n hvis (og kun hvis) $$n\ |\ (a-b)$$. Betegnes $$a \equiv b (mod n)$$. Fx er $$7 \equiv 1\ (mod\ 3)$$

321 (112): Restklasse - mængden af hele tal, som har samme rest som et helt tal a ved division med n kaldes a ' s restklasse modulo n. Betegnes $$[a]_n$$. Med andre ord $$[a]_n = \{a+nk\ |\ k\in\mathbb{Z}\}$$

323 (113): Repræsentant for restklassen - et element i en restklasse

325 (113): Mængden af restklasser - mængden af restklasser mod n betegnes $$\mathbb{Z}/n, \mathbb{Z}_n, \mathbb{Z} / \mathbb{Z} n$$

331 (114): Plus og gange for restklasser - hvis a og b tilhører samme restklasse, så gælder:
 * 1) $$[a] + [b] = [a+b]$$
 * 2) $$[a] \cdot [b] = [a \cdot b]$$

10 (Ækvivalens)relationer
347 (120): Relation, Primærmængde, Sekundærmængde - en delmængde R af $$A \times B$$ kaldes en relation mellem A og B. A kaldes primærmængden, og B kaldes sekundærmængden. En delmængde af $$A \times A$$ kaldes en relation på A. Hvis $$(x,y)\in R$$, siger man, at x er relateret til y, og betegnes $$xRy$$

350 (120): Refleksiv, Irrefleksiv, Symmetrisk, Antisymmetrisk, Transitiv -
 * Refleksiv: $$\forall x\in A: xRx$$
 * Irrefleksiv: $$\forall x\in A: \neg xRx$$
 * Symmetrisk: $$xRy \Rightarrow yRx$$
 * Antisymmetrisk: $$(xRy \wedge yRx) \Rightarrow x=y$$
 * Transitiv: $$xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz$$

354 (121): Relateret delmængde - ligesom relateret mængde, bare med delmængder (se bog)

356 (121): Invers relation - hvis R er en relation mellem A og B, så er R^-1 den inverse relation til R hvis $$bR^{-1}a \equiv aRb$$

367 (123): Rute - en endelig følge af elementer i en mængde A med en relation R fra a til b. Hvis $$(a=a_0, a_1, a_2,...,a_n=b)$$ er en sådan rute, har ruten længden n (se bog for uddybning)

370 (124): Ruterelation -
 * $$aR^n b$$: Der findes en rute i R af længde n mellem a og b
 * $$aR^\infty b$$: Der findes en rute i R af en vilkårlig længde mellem a og b

372 (124): Ækvivalensrelation - en relation ~ på en mængde A kaldes en ækvivalensrelation hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv

377 (126): Ækvivalensklasse - hvis $$[a] = \{x \in A\ |\ x \sim a\}$$, så kaldes [a] ækvivalensklassen hørende til a. Hvis [a] hører til relationen ~, kan man skrive $$[a]_\sim$$. Mængden af ækvivalensklasser betegnes $$A / \sim$$

384 (127): Klassedeling - en familie af ikke-tomme delmængder af en mængde M, hvor alle delmængder er parvist disjunkte, og hvor foreningsmængden er hele mængden (M) selv

389 (128): Klassedelingsrelation - hvis Ω er en klassedeling af en mængde M, så er en relation $$\sim_\Omega$$ på M defineret ved: $$a \sim_\Omega b$$ hvis der findes en mængde $$A \in \Omega$$ så $$a, b \in A$$