Aksiomerne for reelle tal

De reelle tal har 2 regningsarter: + og *. De har også 2 forskellige tal: 0 og 1. Til sidst har de en ordningsrelation: ≤.

For vilkårlige reelle tal x, y, z gælder:


 * 1) komm. add.: $$x+y=y+x$$
 * 2) ass. add.: $$(x+y)+z=x+(y+z)$$
 * 3) neut. add.: $$x+0=0+x=x$$
 * 4) inv. add.: $$x+(-x)=(-x)+x=0$$
 * 5) komm. mult.: $$xy=yx$$
 * 6) ass. mult.: $$(xy)z=x(yz)$$
 * 7) neut. mult.: $$x1 = 1x = x$$
 * 8) inv. mult.: $$xx^{-1} = x^{-1}x = 1,\quad x\neq 0$$
 * 9) distr.: $$x(y+z)=xy+xz,\quad (x+y)z=xz+yz$$
 * 10) tot. ord.: $$x \leq y \vee y\leq x$$
 * 11) refl. ord.: $$x \leq x$$
 * 12) trans. ord.: $$x \leq y \wedge y\leq z \Rightarrow x \leq z$$
 * 13) a.symm. ord.: $$x \leq y \wedge y \leq x \Rightarrow x=y$$
 * 14) ord. harm. add.: $$x \leq y \Rightarrow x+z \leq y+z$$
 * 15) ord. harm. mult.: $$x \leq y \wedge 0 \leq z \Rightarrow xz \leq yz$$
 * 16) supr.egn.: Hvis en ikke-tom delmængde i R er opadtil begrænset, har den et supremum.